数学問題の体積計算：積分の区間分けと結果の一致について

今回は、「y = log(x)」と「y = x – 1」から囲まれた部分を回転させて得られる体積の問題について解説します。問題文における積分の区間分けが必要かどうか、その結果が一致する理由について考察します。

問題の設定と体積の求め方

与えられた関数y = log(x)とy = x – 1の接線を用いて囲まれた部分を回転させた際、得られる体積を求めるためには積分を使用します。この積分の設定方法と、区間分けによる計算方法について詳しく見ていきましょう。

積分式の設定と区間分け

積分を使用して回転体の体積を求める際、y = log(x)とy = x – 1の2つの関数から囲まれた部分を1回転させた体積は、一般的にはπ∫[1→e](x – log(x) – 1)² / (2√2) dxという積分式で表されます。しかし、区間を分けて計算した場合と、分けずに計算した場合で得られる結果が一致します。

結果が一致する理由

区間を分けるか分けないかに関わらず、得られる結果が一致するのは偶然ではなく、必然です。積分の区間を分けずに計算した場合、区間分けした場合の計算式と数値が一致するのは、積分の中で処理される領域の性質と計算式が合致しているからです。

結論

結果が一致する理由は、積分式における関数の性質と積分の計算方法が正確に処理されているからです。区間分けをすることで計算が容易になることはありますが、この場合のように結果が一致することから、場合によっては区間分けをせずに積分することも可能です。