1+2+…+n=n(n+1)/2の数学的帰納法は正しい？同値変形による証明の厳密性を解説

数列の基本公式「1+2+…+n=n(n+1)/2」の証明で、数学的帰納法と同値変形を用いる方法は正しいのでしょうか。本記事では、提示された証明の論理構造を丁寧に確認し、厳密に正しいかどうかを解説します。特に「0=0への同値変形で示す方法」が妥当かを整理します。

まず結論：発想は正しいが、説明の整理が必要

提示された証明は、数学的帰納法の構造自体は正しく、結論も正しいです。

ただし、「②⇔0=0を同値変形のみで示す」という部分は、論理の流れをもう少し明確に書いた方が厳密になります。

本質的なアイデアは正しいですが、試験答案では整理して書く方が安全です。

数学的帰納法は次の2段階です。

ここで重要なのは、「仮定を使ってk+1の場合を導く」ことです。

あなたの証明では、①を用いて②と同値な命題が0=0になることを示しています。

あなたの考え「真の命題を同値変形しても真、偽を同値変形しても偽」は正しいです。

同値変形とは、両方向に論理が成り立つ変形のことです。

もし本当に②⇔0=0が同値変形のみで示せているなら、②は真になります。

ポイントは“本当に同値か”を明示することです。

通常は次のように書きます。

1+2+…+k+(k+1)

= k(k+1)/2 + (k+1)（仮定より）

= (k+1)(k/2 + 1)

= (k+1)(k+2)/2

これで直接示せます。

この形の方が採点上は明確です。

②−①を計算してk+1=k+1とする発想自体は自然です。

しかし、「②が真であること」と「②と同値な式が恒等的に成立すること」は、論理の順番を明確にしないと誤解される場合があります。

数学的帰納法では「仮定を代入して直接一致を示す」形の方が誤解が少ないです。

あなたの証明は本質的には正しい方向に進んでいます。

同値変形の理解も正しいです。

ただし、試験では式変形を順番に書いて「等しいことを直接示す」形の方がより厳密で安全です。

論理の考え方はとても良いので、自信を持って大丈夫です。