微分方程式の級数展開：x = ∞における解法のステップ

微分方程式をx = ∞における級数展開で解く方法について解説します。具体的には、次の微分方程式を例に取り、級数展開を使った解法をステップバイステップで説明します。

x^4y'' + (2x^2 + 1)xy' - 2y = 0

微分方程式の整理と級数展開のアプローチ

まず、与えられた微分方程式を整理します。x = ∞における解を求めるために、解を級数展開として仮定します。解を次の形で仮定します。

y = Σ (a_n * x^n)

ここで、a_nは未知の定数で、xのべき乗に関する解の級数です。この仮定を元に、y’とy”を求め、微分方程式に代入していきます。

級数展開による微分の計算

級数展開に基づいて、y’とy”を求めるための公式は次の通りです。

y' = Σ (n * a_n * x^(n-1))

y'' = Σ (n * (n-1) * a_n * x^(n-2))

これらを元の微分方程式に代入し、各項について整理していきます。

微分方程式に級数を代入して係数を求める

次に、y’とy”を微分方程式に代入します。元の微分方程式は次のようになります。

x^4 * Σ (n * (n-1) * a_n * x^(n-2)) + (2x^2 + 1) * x * Σ (n * a_n * x^(n-1)) - 2 * Σ (a_n * x^n) = 0

ここで、各項に対してxのべき乗をそろえ、それぞれの係数を求めます。これによって、xの各べきの係数がゼロになるように、連立方程式を解いていきます。

収束範囲と解の求め方

級数展開を用いた解法において、xが無限大に近づく場合の収束範囲を確認することが重要です。特に、xが大きくなると、級数の高次項が支配的になるため、低次項を無視できることがあります。

収束範囲を確認した上で、各係数を求め、解を導出します。これによって、x = ∞での挙動を詳しく調べることができます。

まとめ

微分方程式をx = ∞における級数展開で解く方法について解説しました。級数展開を使うことで、無限大での挙動を詳しく分析することができます。解法のステップは、解を級数として仮定し、微分方程式に代入し、連立方程式を解くことによって進めます。収束範囲を確認しながら解を求めることが、正確な解を得るために重要です。