ベクトルの問題において、3点A(3，-2，-4)B(1，-3，-1)C(7，p-3，q)が一直線上にあるとき、pとqの値を求める方法について解説します。特に、ABベクトル＝kACベクトルの方法とABベクトル＝kBCベクトルを使った解法の違いに焦点を当てて説明します。
直線上に並ぶ3点のベクトル関係
3点A、B、Cが一直線上にあるとき、ベクトルAB、AC、BCはすべて直線的な関係にあります。これを数学的に表現するためには、ベクトルの関係を用います。直線上に並ぶということは、ベクトルAB、AC、BCの間にスカラー倍の関係が成り立つことを意味します。
具体的には、ABベクトル＝kACベクトルやABベクトル＝kBCベクトルという関係を用いて、pとqを求めることができます。これにより、ベクトルの成分を計算しながら問題を解くことができます。
ABベクトル＝kACベクトルの解法
まず、ABベクトル＝kACベクトルという関係式を使って解いてみましょう。ABベクトルとACベクトルの成分を求め、スカラーkを使ってベクトルの関係式を設定します。
ABベクトルは、BからAへのベクトルで、座標を代入するとAB = (1-3, -3+2, -1+4) = (-2, -1, 3) となります。また、ACベクトルは、CからAへのベクトルで、座標を代入するとAC = (7-3, (p-3)+2, q+4) = (4, p-1, q+4) となります。
これらのベクトルを使って、ABベクトル＝kACベクトルの関係式を立てていきます。
ABベクトル＝kBCベクトルの解法
次に、ABベクトル＝kBCベクトルという方法を使って解いてみます。この方法でも、ABベクトルとBCベクトルの成分を使って、pとqを求めることができます。
BCベクトルは、CからBへのベクトルで、座標を代入するとBC = (7-1, (p-3)+3, q+1) = (6, p, q+1) となります。これをABベクトルと比較し、kを求めることができます。
どちらの解法を使っても問題ない理由
ABベクトル＝kACベクトルを使う方法とABベクトル＝kBCベクトルを使う方法は、どちらも同じ数学的な関係に基づいています。重要なのは、ベクトルのスカラー倍により、問題を解くための条件を満たすpとqの値を求めることです。
どちらの方法を選んでも、解く過程は異なりますが、最終的に得られる答えは同じになります。自分が解きやすい方法を選んで進めれば良いでしょう。
まとめ
ベクトルの問題で、直線上に並ぶ3点のpとqの値を求めるには、ABベクトル＝kACベクトルやABベクトル＝kBCベクトルを使って解くことができます。どちらの方法を使っても、数学的な条件を満たす解法となるため、解きやすい方法を選ぶことが重要です。ベクトルの関係をしっかり理解することで、問題を効率よく解くことができます。
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