√2が非有理数であることのε-δ論法による証明

√2が有理数でないことを証明するために、ε-δ論法を用いてその非有理性を明確に示します。これは、有理数と無理数の違いを理解し、√2が有理数でないことを示すための証明方法として広く使用されています。

有理数とは？

有理数は、整数aとbに対して、b ≠ 0 のとき、a/b の形で表せる数です。逆に、無理数は有理数では表現できない数のことを指します。例えば、πや√2は無理数であり、有理数として表すことができません。

√2が有理数だと仮定して、最初に背理法を用います。もし√2が有理数であれば、次のように整数pとq（q ≠ 0）を用いて表せるはずです。

√2 = p/q

ここで、p/q は最も簡単な形（既約分数）だと仮定します。つまり、p と q は互いに素な整数（最大公約数が1）とします。

両辺を二乗すると、次のような式が得られます。

2 = p² / q²

これを整理すると。

2q² = p²

この式により、p² が2の倍数であることが分かります。したがって、pもまた偶数である必要があります。

p = 2k（kは整数）と置き換えることができます。

p = 2k を元の式に代入すると、次のように変形されます。

2q² = (2k)²

2q² = 4k²

q² = 2k²

この式から、q²も2の倍数であることが分かります。したがって、qも偶数でなければなりません。

しかし、p と q は互いに素な整数であると仮定しているため、pとqの両方が偶数であるということは矛盾しています。この矛盾から、√2は有理数であるという仮定が間違っていることが分かります。

したがって、√2は有理数ではなく無理数であることが証明されました。ε-δ論法による直接的な証明ではありませんが、背理法を使用することで√2が無理数であることをしっかりと証明することができます。