数学の極限問題の解法: はさみうちの原理の適用

数学の問題で、(1/2^n)×sin(nπ/4) の n→∞ の極限を求める際に、はさみうちの原理を使うべきか、それとも単純に0と書いても問題ないのかについて詳しく解説します。

1. はさみうちの原理とは？

はさみうちの原理（挟み込み定理）は、関数の極限を求める際に非常に有用な方法です。簡単に言うと、ある関数が他の2つの関数に挟まれていて、それらの極限が同じ値であれば、挟まれている関数もその極限値に収束するという定理です。

2. 問題の式と極限

与えられた式 (1/2^n)×sin(nπ/4) において、n→∞ の極限を求める場合、まず sin(nπ/4) の振る舞いを理解する必要があります。sin(nπ/4) の値は、周期的に変動するため、-1 から 1 の間で変化します。このため、(1/2^n) が0に収束する一方で、sin(nπ/4) は周期的に変化します。

3. はさみうちの原理の適用

この式において、(1/2^n)×sin(nπ/4) は -1/2^n から 1/2^n の範囲に収束します。すなわち、sin(nπ/4) の値が -1 と 1 の間で変動するため、はさみうちの原理を使うと、(1/2^n) の値が0に収束することがわかります。したがって、この極限も0になります。

4. 結論：解法と書き方

極限の計算を簡潔に示す方法として、はさみうちの原理を使うのが良いでしょう。これにより、式の変動をうまく処理し、正確に解答を導くことができます。解答には、はさみうちの原理を明示的に記載することで、論理的に説明が加わり、理解を深めることができます。

5. まとめ

問題の式の極限を求める際、はさみうちの原理を使うことで、より明確で正確な解答が得られます。単に0と書くこともできますが、数学的な手法を示すことが解答の質を高めることに繋がります。