xy平面の求積問題: 立体の体積を求める方法

このページでは、xy平面における曲線y=logxと接線、直線x=eによって囲まれた図形Dを直線lのまわりに回転させてできる立体の体積を求める問題について解説します。特に、求積問題に関する計算の流れを理解しやすく説明します。

1. 問題の設定と理解

まず、問題の図形Dを理解しましょう。与えられた曲線はy=logxであり、この曲線と点(1,0)における接線l、および直線x=eによって囲まれた図形がDです。この図形Dを、接線lの周りに一回転させることで立体を作成します。問題はその立体の体積を求めることです。

この問題では、円環法（円環断面法）を使用します。円環法では、与えられた曲線に沿った円環断面を無限に積み重ねることで体積を求めます。まず、立体の体積を求めるための基本的な式を紹介します。体積Vは次の式で表されます。

V = π∫[a,b] (f(x))^2 dx

次に、接線lの方程式を導出します。与えられた曲線y=logxの点(1,0)における接線の傾きを求め、その後、接線の方程式を求めます。点(1,0)における接線の傾きは、曲線の微分を用いて求めることができます。微分を行った結果、接線の傾きは1/xとなり、点(1,0)における接線の傾きは1となります。

体積を求めるために、まず立体の断面積を求めます。接線lの周りに回転させるので、回転する断面の半径は接線のy値になります。次に、この半径を使って円環法で体積を求めます。計算には積分を使用し、与えられた範囲（x=1からx=eまで）を積分します。

最終的な積分の結果、立体の体積は計算できるようになります。具体的な計算手順に従って、正しい答えを導き出すことができます。

この問題は、円環法を用いて与えられた図形の立体の体積を求める問題です。接線の方程式を求め、円環法で断面積を計算することで体積を求める流れを理解することが重要です。解法のステップを丁寧に踏むことで、確実に体積を求めることができます。