方程式23x + 9y = 2の整数解を求める方法と解の確認方法

方程式「23x + 9y = 2」の整数解を求める問題において、解法とその確認方法について解説します。質問者が提案した解法が正しいかどうかを確かめ、どのようにして解を確認するかをステップバイステップで説明します。

問題の設定と解法のアプローチ

与えられた方程式は「23x + 9y = 2」です。このような方程式は、整数解を求めるために「拡張ユークリッドの互除法」を用いることができます。

まず、この方程式が整数解を持つかどうかを確認し、次に一般解を求めます。整数解が存在するためには、23と9の最大公約数（GCD）が2である必要があります。

1. まず、23と9の最大公約数を求めます。

23 = 2 × 9 + 5

9 = 1 × 5 + 4

5 = 1 × 4 + 1

4 = 4 × 1 + 0

したがって、GCD(23, 9) = 1 です。よって、整数解が存在することが確認できました。

次に、拡張ユークリッド法を使って、1を23と9の線形結合として表現します。

1 = 5 − 1 × 4

1 = 5 − 1 × (9 − 1 × 5) = 2 × 5 − 1 × 9

1 = 2 × (23 − 2 × 9) − 1 × 9 = 2 × 23 − 5 × 9

これより、1 = 2 × 23 − 5 × 9 となり、次に2を掛けて2 = 4 × 23 − 10 × 9 と表せます。

提案された解法は x = -9k + 4 および y = 23k – 10 という形です。この形で一般解を求めるためには、kを整数として考える必要があります。

計算結果が合っているかを確認するには、x と y の値を元の方程式に代入し、2が得られることを確認します。

例えば、k = 0 のとき、x = 4 および y = -10 となり、元の方程式に代入すると。

23 × 4 + 9 × (-10) = 92 – 90 = 2

これは正しい結果です。したがって、x = -9k + 4 および y = 23k – 10 は一般解として正しいことが確認できます。

23x + 9y = 2 のような方程式の整数解を求めるためには、拡張ユークリッドの互除法を使うのが一般的です。解法を確認するためには、得られた解を元の方程式に代入して正しい結果が得られることを確かめることが重要です。今回の問題の解法は正しいものであり、一般解の形式も問題なく求められています。