3次方程式の実数解が一つである場合の条件 – 正答と異なる考え方の理解

3次方程式の実数解が一つである場合、その条件について理解することは重要です。質問者は、特定の条件で3次方程式の解が一つだけであると考えましたが、正答と異なっていたため、違いを理解し、正しい条件を確認することが必要です。本記事では、3次方程式の実数解が一つである場合の条件について解説します。

3次方程式の実数解の数とその条件

3次方程式は、一般的に最大3つの実数解を持つことが知られています。解の数が1つである場合、他の2つの解が虚数解である必要があります。これを理解するためには、3次方程式のグラフを考えると分かりやすいです。

3次関数のグラフは、一般に1回の変化で上昇し、下降する特徴を持ちます。このため、1つの実数解がある場合、グラフがx軸に1回だけ交わり、他の2つの解は虚数解となります。

質問者が示した「三重解である時」というのは、3次方程式が一つの解に対して重解を持つ場合です。この場合、解は1つしかなく、その解は三重解（または重解）と呼ばれます。三重解が存在すると、関数のグラフはx軸に接するように、曲線が水平になり、解の場所で接するだけで交わりません。

三重解が存在する場合、グラフは単調増加や単調減少を示すこともありますが、重要なのは解が1つだけであるという点です。

実数解が1つの場合、残りの解は虚数解であると前述しました。質問者の指摘した「極大値が0より小さい時」や「極小値が0より大きい時」は、関数の挙動を理解するために重要な要素です。これらの条件は、関数がx軸に対してどのように交差するか、または接するかに影響を与えます。

特に、極大値と極小値が同符号であるとき、関数はx軸と2回交わらず、1回だけ交差することになります。このような場合、1つの実数解が存在することになります。虚数解が発生するのは、この状況が満たされたときです。

正解では、「極大値と極小値が同符号である時」と明確に記載されています。質問者の考えは「極大値が0より小さい時」や「極小値が0より大きい時」という条件に偏りがちですが、正確には極大値と極小値が同符号であることが重要です。これにより、実数解が一つであるという条件が満たされます。

正しい理解では、関数のグラフがx軸と1回だけ交わり、残りの2つの解が虚数解となります。

3次方程式において実数解が1つである場合、他の2つの解は虚数解となります。これを理解するためには、関数のグラフの挙動に注目し、極大値と極小値が同符号である場合に1つの実数解が存在することを理解することが重要です。

質問者が考えた「極大値が0より小さい時」や「極小値が0より大きい時」という条件は、実際には「極大値と極小値が同符号である時」と一致しないため、誤解を招くことになります。正しい条件を理解することで、3次方程式の解の数を正しく予測できるようになります。