無理数について: 大学受験や高校卒業までに必要な知識は？

高校数学

2026.02.18

無理数については、数学において基本的な概念の一つですが、大学受験や高校卒業までに学ばなくても良い部分もあります。この記事では、無理数の定義や例、そして大学受験や高校の数学で知っておくべき範囲を説明します。

1. 無理数とは？

無理数とは、整数の比（分数）で表せない実数のことです。無理数は、有理数と対比されます。実数全体は、有理数（整数の比で表せる数）と無理数に分けられ、無理数は例えば√2、π（円周率）などが含まれます。

無理数にはいくつかの特徴があります。まず、分数として表せません。次に、無理数は小数で表すと循環せず無限に続きます。例えば、√2やπは小数点以下が続きますが、循環せず、止まることがありません。

無理数には、平方根（√2、√3、√5など）や円周率（π）、そしてネイピア数（e）などが含まれます。これらの数は、小数で表現しても有限の桁数で収束することはなく、無限に続きます。

無理数は、さらに「代数的無理数」と「超越数」に分けることができます。代数的無理数は、代数方程式の解として現れる無理数です。例えば√2は代数的無理数です。一方、超越数は代数方程式の解とはならない無理数で、πやeがその例です。

無理数であるかどうかを判定するのは、有理数であるかどうかを判定するのとは異なり、難しいことがあります。無理数であることを証明するためには、その数が有理数でないことを証明する方法が必要です。

高校の数学で無理数に関連する内容は、主に平方根やπ、eといった基本的な無理数に触れます。大学受験の範囲でも、これらの無理数を理解し、関連する計算や証明問題を解けることが重要です。しかし、無理数がどのように発展するかという点は、高校数学ではあまり深く掘り下げて学ぶことはありません。

無理数は高校数学の中で基本的な概念として登場し、大学受験でも理解しておくべき内容ですが、詳細な証明方法や分類については受験範囲に含まれることが少ないこともあります。無理数についての基本的な理解を深め、受験勉強に役立てましょう。