微分方程式の級数展開による解法：x=∞における(1+x/2)x^2y''+(2-x)xy'-2y=0の解法

この問題では、微分方程式 (1+x/2)x^2y”+(2-x)xy’-2y=0 をx=∞における級数展開を使って解く方法について解説します。まず、問題の式を整理し、どのように級数展開を適用するかを順を追って説明します。

1. 微分方程式の整理

まず、与えられた微分方程式を整理します。式は次の通りです。

(1+x/2)x^2y''+(2-x)xy'-2y=0

この式を解くためには、級数展開を用いて解を求めることが重要です。特にx=∞の近傍で解を求める場合、xが非常に大きな値に近づくときの振る舞いに注目します。

x=∞における解を求めるためには、まず変数変換を行い、級数展開を適用します。具体的には、y(x)を以下のように級数展開します。

y(x) = Σ a_n x^n

ここで、Σは総和記号、a_nは展開係数です。この級数を微分し、与えられた微分方程式に代入していきます。

微分方程式に級数展開した解y(x)を代入します。まずy’とy”を求め、次にそれぞれの項を式に代入します。この過程で、各項がどのように展開され、係数がどのように決まるかを詳細に示します。

代入後、方程式を整理し、係数を求めます。これにより、級数展開の各項に対する解を得ることができます。最終的に、係数が決まると解が明らかになり、x=∞における解が求められます。

この問題では、微分方程式に対してx=∞の近傍で級数展開を適用する方法について解説しました。重要なのは、級数展開を正しく適用し、各項の係数を求めることです。問題のステップをしっかりと理解し、必要な計算を行うことで、このような微分方程式の解法が可能となります。