効率的な計算方法と無理数の証明：2a²−b²の計算と√2が無理数であることの証明

数学における計算問題は、効率的に解く方法を知っておくと大変便利です。ここでは、2a²−b²を最も早く計算する方法と、√2が無理数であることを証明する方法について解説します。

2a²−b²を最も早く計算する方法

2a²−b²の式は、一見複雑に思えるかもしれませんが、実は因数分解を利用することで簡単に解くことができます。この式は、次のように因数分解することができます。

2a²−b² = (√2a + b)(√2a – b)

このように因数分解することで、計算を簡単にすることができます。具体的には、式を二つの項に分けて計算することで、より効率的に解けるのです。計算過程を簡潔にするために、こうした因数分解を活用しましょう。

√2が無理数であることの証明

√2が無理数であることを証明するためには、背理法を使います。無理数とは、有理数（整数の比）で表せない数のことです。√2が無理数であることを示すためには、√2が有理数だと仮定し、その矛盾を示す方法が有効です。

まず、√2が有理数であると仮定します。すると、√2はp/qという形で表せると考えます。ここで、pとqは互いに素な整数（最大公約数が1）とします。この仮定に基づいて計算を進めると、p² = 2q²となり、p²は2で割り切れることがわかります。さらに、pも2で割り切れることがわかりますが、これはpとqが互いに素であるという最初の仮定に反します。この矛盾から、√2は無理数であると証明されます。

まとめ

今回は、2a²−b²の効率的な計算方法と、√2が無理数であることを証明する方法について学びました。2a²−b²は因数分解を使うことで迅速に計算でき、√2の無理数性は背理法を用いて証明することができます。これらの方法を理解し、活用することで、数学の理解が深まります。