y = √x を複素数まで拡張した場合のグラフとその意味

中学3年生で「y = √x」を複素数に拡張した場合、そのグラフがどのように変わるのか、少し難しく感じるかもしれません。この記事では、実数から複素数に拡張した場合の「y = √x」のグラフの挙動と、それに関連する概念について解説します。

実数での「y = √x」グラフ

まず、「y = √x」を実数の範囲で考えると、x が0以上のとき、y は0以上の実数となります。グラフは、x 軸上で右半分だけが描かれ、原点から始まる上向きの曲線になります。

このグラフは、y = √x の定義通り、x に対して非負の値を取るため、x 軸に沿った右側にだけ描かれることになります。

次に、この関数を複素数の範囲に拡張してみましょう。複素数における平方根は、実数の平方根とは異なり、負の数の平方根も定義されるため、実数ではなく複素数の値を取ります。

例えば、x が負の値を取る場合、y = √x の結果は実数ではなく複素数になります。このように、y = √x は複素数平面で定義されるようになり、x の値が負になると、y は複素数での解となるため、グラフは二重に分岐することになります。

複素数の平方根を描くためには、複素数平面を使います。複素数平面では、横軸が実部、縦軸が虚部を表し、y = √x の場合、x が負であれば、y は虚部を持つ値となります。

実数の範囲では、グラフは右上の半平面に描かれますが、複素数範囲では、グラフは複素数平面上で2つの枝を持つことになり、それぞれの枝が虚部を持つ点を含みます。

複素数まで拡張した場合、平方根の定義が変わるため、単一の値ではなく、2つの値（正の虚数と負の虚数）が対応することになります。これは、複素数が「双曲的」に解釈され、二重に分岐することを意味します。

このような拡張により、実数での単純なグラフが、複素数平面でのより複雑な構造に変化することが理解できます。

「y = √x」を複素数の範囲まで拡張すると、実数の範囲では右上に描かれた単純な曲線が、複素数平面では2つの分岐を持つ複雑なグラフになります。この変化は、平方根の定義が実数から複素数へと広がることで生じる現象であり、複素数平面を用いることでその挙動を理解することができます。