有理数に収束しない数列の証明：εN論法を用いたアプローチ

質問で示された数列は、無理数である√2に収束するように見えますが、この数列が有理数に収束しないことを、εN論法を使って純粋に直接証明する方法について解説します。

数列の定義と収束

まず、この数列の定義を確認しましょう。与えられた数列は、各項が次のように近づいていきます。

a_1 = 1.4, a_2 = 1.41, a_3 = 1.414, a_4 = 1.4142, a_5 = 1.41421, a_6 = 1.414213, a_7 = 1.4142135, a_8 = 1.41421356, …

この数列は、√2に非常に近い値に収束していきます。目の前にある数列が無理数である√2に収束する様子を確認することが重要です。

εN論法を使った証明方法

εN論法は、数列がある値に収束するかどうかを判定するための方法で、特に収束する先が無理数である場合に使用されます。この証明を行うには、数列の各項が√2に収束することを示し、それが有理数に収束しないことを証明します。

εN論法では、任意のε > 0に対して、十分に大きなNが存在し、n ≥ Nに対して|a_n – √2| < εが成り立つことを証明します。この場合、数列の各項は次第に√2に近づいていき、εの範囲内に収束します。

数列が有理数に収束しない理由

この数列は、√2という無理数に収束しているため、有理数には収束しません。無理数は、有理数で表現できない非整数の数であり、√2もその一例です。実際にこの数列は、次第に√2の近くに収束していきますが、有理数に収束することはありません。

もしこの数列が有理数に収束すると仮定すると、それは√2が有理数であることを意味してしまいます。しかし、√2が無理数であることは既に証明されているため、この仮定が間違っていることがわかります。

まとめ

この数列は、無理数である√2に収束するため、有理数には収束しません。εN論法を使って証明した通り、数列の各項は√2に収束しており、十分に大きなNに対して、数列の項が√2に任意の精度で近づくことが示されました。したがって、この数列は有理数に収束しないことが確定しました。