「x^2 + y^2 = 1 のとき、x + 4y^2 の最大値と最小値を求める」という問題は、実際に多くの学生が直面する問題です。特に最小値の求め方について疑問を抱いている場合が多いので、今回はその方法について詳しく解説します。
1. 与えられた条件と問題の設定
まず、問題の設定を再確認しましょう。x^2 + y^2 = 1 という条件が与えられ、x + 4y^2 の最大値と最小値を求める問題です。ここでの重要なポイントは、x^2 + y^2 = 1 が示す円の方程式であり、この条件を利用してxとyの関係性を見つけることが鍵となります。
質問では、「x + 4y^2 = k」とおいて解く方法が求められているので、この形に変形し、解法を進めます。
2. 最大値の求め方
まず、x + 4y^2 = k とおき、y^2 を x^2 の式で表現してみます。x^2 + y^2 = 1 の式から y^2 = 1 – x^2 を得られますので、この値をx + 4y^2 の式に代入します。すると、x + 4(1 – x^2) となり、この式をkとおくことができます。
これを整理すると、k = x + 4 – 4x^2 という式が得られます。この式を最大化するために、微分を用いてxの値を求め、そのときのkの最大値を求めます。
3. 最小値の求め方
次に、最小値を求める方法について解説します。最小値は、最大値と同様にk = x + 4 – 4x^2 の式を利用して求めますが、最小値の場合、xの範囲が -1≦x≦1 であるため、その範囲内で最小値をとるxの値を見つけます。
質問者が示したように、x ≦ k の条件を考慮すると、xの範囲と一致する最小値は-1となるため、最小値は-1です。この方法で、x + 4y^2 の最小値が求められます。
4. 解答を書く際のポイント
解答を書く際には、まず問題の設定と式をしっかりと整理し、与えられた条件を満たすように式を変形することが大切です。その後、最大値や最小値を求める際に微分や範囲制約を使って計算します。
また、解答の中では手順をきちんと書き、どの式を使ったのかを明示して、数学的なロジックをしっかりと説明することがポイントです。
まとめ
x^2 + y^2 = 1 のとき、x + 4y^2 の最大値と最小値を求める問題では、まず式を変形して、微分を使って最大値を求め、xの範囲内で最小値を求めることが重要です。解答を書く際には、手順を明確にし、計算過程を丁寧に説明することが求められます。
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