接線の方程式の求め方：微分と点代入の理解

今回のテーマは、数2の接線の方程式の求め方です。特に、二次関数の微分を用いて接線を求める方法について詳しく解説します。

接線の方程式を求める基本的な流れ

まず、接線の方程式を求めるためには以下の手順を踏む必要があります。

これらの手順を一つずつ見ていきましょう。

まず、接線の傾きを求めるために、二次関数を微分します。例えば、二次関数の一般的な形は。

y = ax² + bx + c

この関数を微分すると、接線の傾きとなる一次関数が得られます。

dy/dx = 2ax + b

これが、二次関数の傾きを表す式になります。

次に、問題で与えられた点（x₀, y₀）を微分した式に代入して、その点での接線の傾きを求めます。たとえば、x₀ = 2 のとき、微分した式にx = 2を代入し、傾きを求めます。

dy/dx = 2a(2) + b = 4a + b

これで、接線の傾きを求める準備が整いました。

接線の方程式は、点(x₀, y₀)を通り、傾きmを持つ直線の方程式を使います。

y – y₀ = m(x – x₀)

ここで、mは②で求めた接線の傾きです。この式に代入して、接線の方程式を求めることができます。

例えば、y = x² + 3x + 2という二次関数が与えられ、接線の求めたい点がx = 1であるとします。まず、この二次関数を微分すると。

dy/dx = 2x + 3

次に、x = 1を代入して、傾きを求めます。

dy/dx = 2(1) + 3 = 5

したがって、接線の傾きは5です。次に、接線の方程式を求めるために、点(1, y₀)を通る直線の方程式を使います。y₀の値は、x = 1を元の関数に代入して求めます。

y₀ = 1² + 3(1) + 2 = 6

したがって、接線の方程式は。

y – 6 = 5(x – 1)

これが、求める接線の方程式です。

接線の方程式を求めるためには、まず二次関数を微分して傾きを求め、その後、与えられた点での接線の傾きを求めます。そして、点と傾きを使って接線の方程式を求めるという手順を踏みます。この方法を使って、さまざまな二次関数に対して接線を求めることができます。