階乗の計算とゼロの個数の求め方

階乗を計算するときに出てくる1の位から数えてゼロの個数を求める問題です。特に大きな数で階乗を計算した場合、ゼロの個数がどれだけになるかに注目します。この解説では、25!と200!の計算を通じてゼロの個数を求める方法について説明します。

1. 階乗とは？

まず、階乗の基本的な定義から確認しましょう。階乗とは、ある数nの階乗（n!）は、1からその数までのすべての整数を掛け合わせた値です。例えば、5!は5×4×3×2×1です。

階乗を計算するときに、なぜゼロが1の位に増えるのでしょうか？それは、10の倍数が階乗の計算に含まれるからです。10は2と5の積であり、階乗の中に2と5が含まれる場合、その積が10になるので、ゼロが1個増えます。

25!や200!でゼロが何個続くかを求めるには、階乗の中に含まれる2と5の組み合わせの数を数える必要があります。ここで重要なのは、5の個数がゼロの個数を決定することです。なぜなら、2は5より多く含まれているため、ゼロの数は5の倍数の数に依存します。

25!の場合、5の倍数は5, 10, 15, 20, 25の5つです。しかし、25は2つの5を含んでいるため、実際には6つの5が含まれています。したがって、25!には6個のゼロが含まれます。

次に200!の場合、5の倍数は5, 10, 15, …, 200まで続きます。これを数えると、40個の5があります。さらに、25の倍数（25, 50, 75, …, 200）も含める必要がありますが、これらは5を2回含むので、40 + 8 = 48個のゼロが200!には含まれます。

このようにして、25!のゼロの個数は6個、200!のゼロの個数は48個であると分かります。階乗を計算したときのゼロの個数は、主に5の倍数の数によって決まるということが分かります。