数学I 二次関数の最小値を求める問題の解説

数学Iの二次関数の問題で、与えられた関数の最小値を求める問題について解説します。問題では、関数f(x)=x²−a|x−2|+a²/4の最小値をaを用いて表現することが求められています。ここでは、関数の特徴とその最小値の求め方を詳しく説明します。

1. 与えられた関数の確認

問題に出てきた関数f(x)=x²−a|x−2|+a²/4を分解して理解していきましょう。この関数は、x²という二次関数に、絶対値を含む項−a|x−2|、そして定数項a²/4が加わったものです。

まず、絶対値項a|x−2|はx=2を基準に分けて考える必要があります。x<2の場合とx≥2の場合で関数が異なります。

2. 絶対値項を分けて考える

絶対値|x−2|は、xが2未満か以上かによって変化します。x<2の場合、|x−2|=2−xとなり、x≥2の場合、|x−2|=x−2となります。

したがって、関数は次のように分けることができます。

• x<2のとき：f(x)=x²−a(2−x)+a²/4
• x≥2のとき：f(x)=x²−a(x−2)+a²/4

3. 最小値を求めるための手順

次に、この2つの関数についてそれぞれ最小値を求めていきます。

1. x<2の範囲では、関数f(x)=x²−a(2−x)+a²/4となるので、これを整理すると、f(x)=x²+ax−2a+a²/4となります。

2. x≥2の範囲では、関数f(x)=x²−a(x−2)+a²/4となり、これを整理すると、f(x)=x²−ax+2a+a²/4となります。

4. 最小値をaを用いて表現する

それぞれの関数の最小値を求めるために、微分を使って極値を求め、そこから最小値を特定します。求めた最小値は、aの関数として表現されることになります。

具体的な計算を通じて、最小値がaの関数として表される過程を追いましょう。最終的に、最小値はaに依存する形で表現されます。

5. まとめ

この問題では、与えられた二次関数の最小値を求めるために、絶対値の性質を利用して関数を分け、最小値をaの関数として表現する方法を学びました。理解を深めるためには、微分を使った計算と関数の性質を理解することが重要です。