x³ – 3x – 1 = 0の実数解の数とその性質

方程式x³ – 3x – 1 = 0に対する解の数と性質は、解析を行わなくても直感的に分かります。この方程式の解の数が3つで、そのうち1つが正の解、残りの2つが負の解である理由について説明します。

1. 方程式の形式と直感的な理解

方程式x³ – 3x – 1 = 0は三次方程式であり、三次方程式には最大3つの実数解があります。この方程式をグラフで表すと、直感的に解の数やその性質が見えてきます。

2. 関数の挙動

関数f(x) = x³ – 3x – 1を考えた場合、x³という項が支配的であるため、xが大きくなるとf(x)も大きくなり、xが小さくなるとf(x)も小さくなります。これにより、関数がx軸と交差する点が3つ存在することがわかります。

3. 解の性質の理由

具体的に、この方程式の解を求めるためには、微分を使って関数の極値を求めることが有効です。関数f(x) = x³ – 3x – 1の導関数はf'(x) = 3x² – 3であり、この導関数が0となるxの値がx = 1とx = -1であることがわかります。この2点で関数は極大値や極小値をとり、解が3つであることが確認できます。

4. 結論

したがって、x³ – 3x – 1 = 0の実数解は、1つが正の解、2つが負の解として得られることが、解析を行わずとも明らかになります。数学的に深く掘り下げていくことで、解の数やその性質が直感的に理解できます。