数学における無理数の一例として、√2がよく挙げられます。この記事では、√2が無理数であることの証明について、よく使われる標準的な方法を解説し、質問者が提起した内容に対する理解を深めるための説明を行います。
√2が無理数であることの証明方法
√2が無理数であることを示す方法として、最も一般的に用いられるのが背理法を使った証明です。この証明では、もし√2が有理数であると仮定し、それが矛盾を生むことを示します。
背理法の基本的な流れは以下の通りです。
- √2が有理数であると仮定します。すなわち、√2 = a/b と表せると仮定します（a, b は互いに素な整数）。
- 両辺を2乗すると、2 = a²/b² となり、a² = 2b² となります。
- ここから、a²が偶数であることが分かります。従って、aも偶数でなければなりません。
- aを2kとおくと、式は 4k² = 2b² となり、b² = 2k² です。
- 同様に、b²も偶数であることが分かり、bも偶数である必要があります。
- しかし、aもbも偶数であるならば、a/bは最初の仮定に反して互いに素でないことになり、矛盾が生じます。
したがって、√2が有理数であるという仮定は間違っており、√2は無理数であることが証明されます。
無理数と有理数の違い
有理数は、整数aとb（b ≠ 0）を使ってa/bの形で表せる数であり、無理数はそのように表現できない数です。√2のように小数点以下が無限に続き、かつ循環しない数は無理数の一例です。
有理数と無理数を区別することは、数学の基礎を理解するために重要です。無理数は、具体的には√2やπ、eなどが該当します。
質問者の疑問: x² = 2の有理数解
質問者は、√2が無理数である証明と「その桁で2乗して2に最も近い2つの数のうち小さな方を並べて作る有理数列がいかなる有理数にも収束しないこと」について言及しています。確かに、x² = 2の解を求める方法として、近似値を得るために連分数や近似数列を使うことができますが、これらはあくまで近似に過ぎません。
√2の有理数近似を得る方法としては、例えば、√2を求めるために連分数展開を使ったり、適当な有理数列を作ることができますが、それらが「無理数である」ことを示すためには、無限に続く有理数列であっても最終的に「√2」とは一致しないことを理解する必要があります。
まとめ
√2が無理数である証明は、背理法を用いて有理数であると仮定し、矛盾を導き出すことで証明されます。無理数は、小数が無限に続き、循環しないため、有限の桁数で表すことができません。このような数学的な証明を通じて、無理数と有理数の違いを理解し、数学の基礎をさらに深めることができます。
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