√2の無理性の証明とその詳細な解説

このページでは、√2の無理性の証明について詳しく解説します。質問者は、x^2 = 2 の有理数解が存在しないことを証明することで、√2が有理数でないことを間接的に示しているという点について疑問を持っています。この疑問に答えるため、無理数の証明の過程とその根拠について、具体的に説明します。

無理数の定義と√2の無理性

無理数とは、有理数では表せない実数のことです。有理数は、整数の比として表せる数であり、√2はそのような表現ができないため無理数であるとされます。

まず、x^2 = 2 の有理数解が存在しないことを証明する方法として、√2が無理数であることを示すための最も基本的な方法として「背理法」を使います。

背理法による証明の流れ

背理法とは、反対の仮定を立てて矛盾を導き出し、元の主張が正しいことを証明する方法です。具体的に、√2が有理数であると仮定し、その結果として矛盾が生じることを示します。

もし√2が有理数だと仮定するならば、√2は整数pとqの比で表せるはずです。すなわち、√2 = p/q（ただしpとqは互いに素な整数）と仮定します。この仮定の下で式を進めていくと、矛盾した結果が出ることが分かります。したがって、√2は有理数ではない、つまり無理数であると証明されます。

疑問への答え: 証明の不十分さについて

質問者が感じている「証明が不十分に見える」という疑問についてですが、実際の証明では、x^2 = 2 の解が有理数でないことを示すことで、√2が有理数でないことを間接的に証明しています。x^2 = 2 の解を有理数と仮定して背理法を使うことで、√2が無理数であることを直接的に示しています。

この証明は、√2が有理数であるならば必ず矛盾が生じることを示しており、実際には√2が無理数であることを十分に証明しています。

まとめ

√2の無理性の証明は、背理法を用いて直接的に行うことができます。質問者が疑問に思ったように、x^2 = 2 の解が有理数でないことを示すことで、√2が無理数であることを証明しています。この証明は十分に成立しており、無理数の証明方法としても基本的なものです。