微分方程式 xy'' + y' - y = 0 の一般解の求め方

今回は、微分方程式 xy” + y’ – y = 0 の一般解を求める方法について解説します。この問題は、変数分離法や特性方程式を使って解くことができ、物理や工学の分野でもよく見られる微分方程式の一例です。

微分方程式の確認とアプローチ

与えられた微分方程式は、次の形です。

xy” + y’ – y = 0

この微分方程式を解くために、まず変数変換や適切な解法のアプローチを検討する必要があります。一般的に、このような方程式は特性方程式を使用して解く方法が有効です。

まず、y(x) をべき乗関数の形、y(x) = x^r と仮定します。この仮定により、y” や y’ の項を簡単に計算でき、方程式を簡単にすることができます。

仮定した解 y(x) = x^r を微分し、方程式に代入します。これにより、r に関する方程式が得られます。この方程式が特性方程式と呼ばれ、r の値を求めることができます。

特性方程式を解くことで、r の値を求め、解の構造を特定します。

得られた r の値に基づいて、解を組み合わせます。通常、r の値によって複数の解が得られ、それらを加えることで一般解を構成します。

最終的に、得られた解を組み合わせて、微分方程式の一般解を求めることができます。

微分方程式 xy” + y’ – y = 0 は、べき乗関数の仮定と特性方程式を使って解くことができます。得られた r の値に基づいて解を組み合わせ、最終的な一般解を求めます。数学的な手順を理解し、計算を順を追って進めることが解を得るためのポイントです。