相対論的電磁場中の荷電粒子の運動方程式とラグランジアンの解析

今回は、相対論的電磁場中の荷電粒子に関する問題について解説します。特に、ラグランジアンを基にした運動方程式の導出や、ハミルトニアンの求め方について詳しく説明していきます。

1. 共役運動量の求め方

まず、ラグランジアン L = -mc²√(1-v²/c²) – qφ + qA·v から、共役運動量 p を求めます。ラグランジアンの定義に基づき、共役運動量は以下の式で求められます。

p = ∂L/∂v = γmv + qA

ここで、γ = 1 / √(1 – v²/c²) はローレンツ因子です。これが共役運動量の式となります。

次に、ハミルトニアン H を求めます。ハミルトニアンは、共役運動量とラグランジアンの関係を使って次のように表されます。

H = p·v - L

ここで、p·v は運動エネルギー、L はラグランジアンの定義から求めた式を代入して計算します。その結果、ハミルトニアンは次のように得られます。

H = γmc² + qφ

ラグランジュの運動方程式 γmv = q(E + v × B) は、運動方程式として非常に重要です。これをラグランジアンから導くためには、運動方程式を次のように計算します。

d/dt (γmv) = q(E + v × B)

ここで、E は電場、B は磁場を意味します。これが荷電粒子の運動方程式になります。

ラグランジアンが時間依存性を持つ場合、∂L/∂t = dH/dt という関係が成立します。具体的には、ラグランジアンとハミルトニアンの関係を用いて次の式が得られます。

−∂L/∂t = dH/dt

この式は、時間依存性を持つラグランジアンの振る舞いを表し、ハミルトニアンがエネルギーの保存法則に従うことを示しています。

相対論的電磁場中の荷電粒子の運動方程式をラグランジアンとハミルトニアンを通して理解することは、物理学における非常に重要なステップです。これらの解析により、電場と磁場が粒子の運動に与える影響を明確にすることができます。