因数分解の方法と解説：a^4 + 8a^2 - 48の正しい因数分解

因数分解について、特に「a^4 + 8a^2 – 48」をどのように因数分解するかについて、具体的な手順と正しい考え方を解説します。間違った答えとその理由、そしてその後の進め方を理解するためのポイントを紹介します。

因数分解の基本的な意味

因数分解とは、式を掛け算の形に分けることを意味します。例えば、x^2 + 5x + 6を(x+2)(x+3)に分解するのが典型的な因数分解です。目標は、式をより簡単に扱える形にすることです。

因数分解ができるかどうかを判断する際には、式を見て、平方完成や共通因子を見つけることが重要です。

問題「a^4 + 8a^2 – 48」の場合、まずは式をx^2の形に見立てて考えます。x^2 = a^2と置き換え、式を次のように書き換えます。

x^2 + 8x – 48　(ここでx = a^2)という形にした後、普通の二次方程式として因数分解します。

質問者が間違って答えた「(a^2 + 12)(a^2 – 4)」ですが、この答えは一部正しいものの、さらに因数分解が可能でした。実際には「(a^2 + 12)(a + 2)(a – 2)」の形に分解することができます。

間違いの原因は、式が二次式であることに気づききれず、最初の段階での分解が不完全だったためです。因数分解は一度分解した後、再度チェックして、さらに分解できる部分がないか確認することが大切です。

因数分解をスムーズに進めるためには、基本的なパターンを覚えることが有効です。たとえば、「a^2 + 2ab + b^2」のような完全平方の形、「a^2 – b^2」のような差の平方などです。

また、因数分解が難しい場合は、代数の基本的な操作や式変形を復習し、問題ごとの解法を練習することが重要です。繰り返し練習することで、因数分解の感覚が養われます。

因数分解は、式を扱う上で非常に大切なスキルです。正しい因数分解を行うためには、まず問題を整理して、何を因数分解できるのかを見極めることが大事です。練習を重ねることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。