高校数学: 凹凸を調べる方法 – f”(x)と増減表の使い方

高校数学で「凹凸を調べよ」と言われた場合、基本的には2階微分を求めて、増減表を使う方法がよく用いられます。この手法は、関数の増減や凹凸を視覚的に把握するために非常に効果的です。この記事では、f”(x)を使った凹凸の調べ方と、増減表の使い方について、わかりやすく解説します。

凹凸の調べ方の基本

凹凸を調べる際、まずは関数の2階微分を計算します。2階微分、つまりf”(x)は、関数のグラフが「上に凸」か「下に凸」かを示す重要な指標です。具体的に言うと、f”(x)が正であれば、その点で関数は上に凸（凹面）となり、f”(x)が負であれば下に凸（凸面）となります。

増減表の作成方法

増減表は、関数の増加・減少、そして凹凸を示すための非常に有効な道具です。増減表を作成するには、まずf'(x) = 0となる点、つまり極値を求め、次にf”(x)が正か負かを調べます。増減表においては、xの値に対応するf(x)の増減を示すために、区間ごとに符号を記入します。

増減表を使って凹凸を調べる

増減表を使って凹凸を調べるためには、まず関数f(x)の1階微分f'(x)を求め、0に等しい点を求めて、それらの点を境にf'(x)の符号を調べます。その後、2階微分f”(x)を計算して、各区間におけるf”(x)の符号を調べます。f”(x)が正ならば、その区間は「上に凸」、f”(x)が負ならば「下に凸」となります。

まとめ

結論として、凹凸を調べる方法はf”(x)を使って増減表を作成し、関数の挙動を視覚的に把握することです。f”(x)が正か負かで、関数の凹凸を判断し、増減表を使うことで、関数の挙動を明確に把握することができます。この方法をしっかり理解することで、数学の問題がより簡単に解けるようになります。