√2が有理数に収束しないことの直接証明

√2がどんな有理数にも収束しないことは、有理数と無理数の違いを理解する上で重要なテーマです。この証明は、√2が有理数ではないことを示すもので、数学的な証明方法に触れるときに必ず登場します。この記事では、√2が有理数でない理由について、直接的かつ詳細な証明を紹介します。

√2が無理数であることの証明

√2が有理数ではないことを示すには、背理法を用います。まず、√2が有理数だと仮定します。有理数は、整数aとb（b≠0）を使って、a/bの形で表される数です。したがって、√2 = a/bと仮定します。このとき、aとbは互いに素な整数（最大公約数が1）であるとします。

背理法による証明

次に、両辺を2乗すると、2 = a²/b² となり、a² = 2b² という式が得られます。ここから、a²は2の倍数であることが分かります。したがって、aも2の倍数である必要があります。これをa = 2kとおくと、式は次のように変形できます：4k² = 2b²、つまり b² = 2k² となります。

この式から、b²も2の倍数であることがわかります。したがって、bも2の倍数でなければなりません。しかし、最初に仮定したようにaとbは互いに素であるため、aとbの両方が2の倍数であるという矛盾が生じます。この矛盾から、√2は有理数でないことが分かります。

無理数としての√2

この証明により、√2は有理数ではなく無理数であることが確定しました。無理数は有理数の集合には含まれず、無限小数として表現されることが多いです。√2もその一例であり、循環しない無限小数として続きます。これにより、√2がどんな有理数にも収束しないことが示されました。

まとめ

√2が有理数に収束しない理由は、背理法を使って証明することができます。√2は有理数ではなく、無理数であるため、どんな有理数にも収束することはありません。この証明を通じて、無理数の性質と有理数との違いを理解することができます。