二次方程式が虚数解を持たない条件を示す方法: 判別式dの使い方

二次方程式が虚数解を持たないことを示すために、どの判別式の条件を使うべきかを理解することは、数学の問題を解く上で重要です。この記事では、二次方程式が虚数解を持たない条件を示す方法として、判別式dを使う場合の具体的な説明を行います。

二次方程式の判別式とは？

二次方程式の一般的な形は、ax² + bx + c = 0です。この方程式の解を求めるために、判別式dを使います。判別式dは、次の式で表されます。

d = b² – 4ac

判別式dの値によって、方程式の解が実数解か虚数解かが決まります。

二次方程式が虚数解を持たないためには、判別式dが0以上である必要があります。具体的には、次の2つのケースに分けられます。

従って、虚数解を持たない条件はd ≧ 0です。

d ≧ 0とd > 0は似ていますが、微妙に異なります。d ≧ 0は、虚数解がない場合を示すための十分な条件です。これに対し、d > 0は、方程式が異なる2つの実数解を持つことを示します。

つまり、d ≧ 0の場合、解は実数であり、d > 0の場合には2つの異なる実数解が存在します。一方、d = 0の場合には重解が存在します。

実際に「二次方程式が虚数解を持たないことを示せ」という問題が出された場合、まず判別式dを求め、その値が0以上であることを示します。これにより、虚数解が存在しないことが証明されます。

例えば、方程式x² + 2x + 1 = 0の場合、判別式dは次のように計算されます。

d = 2² – 4×1×1 = 4 – 4 = 0

このようにd = 0の場合、方程式は重解を持ち、虚数解はありません。

二次方程式が虚数解を持たないことを示すためには、判別式d ≧ 0を使うことが基本です。d > 0の場合は異なる実数解が2つあることを示し、d = 0の場合は重解があることを示します。この理解を深めることで、二次方程式の解の性質を正確に把握できます。