中学数学でよく出る場合の数の問題について解説します。今回は、4人のA、B、C、Dがくじを引いて席替えをする問題を見ていきますが、誰一人として元の席に戻らないという条件がついています。この場合の数を計算する方法を、わかりやすく説明します。
1. 「元の席に戻らない」という条件
まず、問題文にある「誰一人として元の席に戻らない」という条件が意味するのは、いわゆる「ダービンの問題」と呼ばれるタイプの問題です。4人のA、B、C、Dが、元の席には戻らずに座席を変更する場合を考えます。
2. ダービンの問題とは？
ダービンの問題とは、元の順番や位置に戻らないように並べる方法を計算する問題です。このような場合の数は、組み合わせや順列の計算を応用しますが、特に「順列の補題」や「階乗」を使って解きます。
3. 計算方法の解説
4人の席替えの場合、A、B、C、Dの順番を変える方法は4!（4の階乗）通りです。つまり、4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24通りです。しかし、「誰一人として元の席に戻らない」場合の数は、「不完全順列」の考え方を使って計算します。
不完全順列の場合の数は、次のように求めます。
4人の元の席に戻らない場合、4人の席を別の順番に並べる方法は、次の式で表されます。
4! – (4-1)! = 24 – 9 = 15通り
4. 結果：15通り
このように、4人のA、B、C、Dが席替えをしたとき、誰一人として元の席に戻らない場合の通り数は15通りになります。
5. まとめ：ポイントは「不完全順列」
この問題では、ダービンの問題を解くために「不完全順列」を使いました。基本的な考え方は、全通りの順番から「元の席に戻る順番」を引くことで、誰一人として元の席に戻らない座席替えの方法を求めました。
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