√2が無理数であることを証明する方法は、数学的に非常に重要な概念の一つです。質問者は、証明が単に「a^2 = 2b^2」における整数解の有無を示しているだけで、√2の収束先として有理数が含まれないことを証明していないと考えているようです。この問いを解決するために、無理数の定義や証明の詳細を深掘りしていきましょう。
√2が無理数である証明の概要
√2が無理数であることを示す最も一般的な方法は、背理法を使用するものです。この証明の最も基本的なアイディアは、√2が有理数だと仮定して、その結果矛盾が生じることを示すことです。
まず、√2が有理数だと仮定し、√2 = p/q（pとqは互いに素な整数）と書けるとします。次にこの式を平方すると、2 = p²/q²となり、p² = 2q²が得られます。この式から、p²が偶数であることがわかり、pも偶数である必要があることが導かれます。p = 2k（kは整数）とおくと、式は2 = 8k²/q²となり、q²も偶数であることがわかります。これにより、qも偶数であることが分かります。しかし、最初に仮定した「pとqは互いに素」という条件に矛盾します。したがって、√2は無理数であると証明されます。
有理数と無理数の収束について
質問者が指摘した通り、「どんな有理数を持ってきても、それが√2の収束先ではない」という点についても考えてみましょう。無理数は、有理数として表現できない数であるため、√2の近似値として有理数を用いた場合、近似値はどんどん精度が高くなりますが、完全に一致することはありません。
これを収束という観点で見ると、有理数の列が無理数に収束することはありますが、無理数の正確な値に到達することはありません。実際、無理数は無限に続く非周期的な小数として表され、どの有理数もその正確な値に達することはできません。したがって、√2のような無理数は、収束先として有理数が最終的な答えにはなりません。
無理数の理解を深めるために
無理数は有理数と異なり、無限に続く小数で、周期的に繰り返さない特徴があります。これにより、無理数は有理数として正確に表現することができません。√2の証明では、背理法を使って有理数としての仮定が矛盾を生むことを示すことにより、無理数であることが証明されます。
この理解を深めるためには、実際に他の無理数（例えばπやe）についても同様の証明を試みたり、無理数がどのように計算機で近似されるかを学んだりすることが役立ちます。
まとめ
√2が無理数である証明は、背理法を使って有理数として仮定した結果、矛盾を導き出す方法です。質問者が気になった「有理数が収束先ではない」という点については、無理数の特性に起因しており、どんな有理数を使っても√2に完全に一致することはありません。無理数の性質を理解し、証明方法を深掘りすることで、よりしっかりとした数学の知識が身につくでしょう。
コメント