環の準同型が全射でAが体ならBも体か？その理由と解説

環の準同型 f: A → B が全射であり、Aが体であるとき、Bが体であるかどうかについて考えます。この問題に関して、環の準同型の性質と全射性が与える影響について詳しく解説します。

環の準同型とは？

環の準同型とは、環 A から環 B への写像 f: A → B で、加法と乗法を保つ写像のことを指します。つまり、f(a + b) = f(a) + f(b) および f(a * b) = f(a) * f(b) が成り立つ必要があります。

全射は、fがAのすべての元に対してBの元に対応するような写像であることを意味します。この場合、A のすべての元が B に対応するため、B の元は必ず A の元から得られるということです。

体とは、加法と乗法に関して閉じていて、逆元が存在する代数構造です。特に、体では、ゼロ以外の元に対して逆元が存在し、また乗法に関して交換法則も成り立ちます。

A が体である場合、A の元は全て加法と乗法において逆元を持つため、この性質が B にどのように影響するかを考えます。

全射であるならば、f は A のすべての元に対して B の元を対応させます。したがって、A の逆元を持つ元は B の逆元を持つことになります。この点から、A の加法と乗法の性質が B に引き継がれることがわかります。

したがって、A が体であれば、B も体の性質を持つことができます。逆に、A が体でなければ、B は体にはならない可能性があります。

結論として、A が体で、f が全射である場合、B も体になります。これは、A の体の性質が B に伝播するためです。ただし、A が体でない場合や f が全射でない場合には、B が体でないこともあります。