円柱と球の表面積の等式を使った高さの求め方

この問題では、円柱と球の表面積が等しいという条件を使って、円柱の高さを求めます。まず、円柱と球の表面積の計算方法を確認し、それらを比較して高さを求める方法を解説します。

問題の確認と円柱、球の表面積

まず、問題文を整理します。底面半径が4cmの円柱の表面積と、半径4cmの球の表面積が等しいとき、円柱の高さを求めるという問題です。

円柱の表面積は、底面の面積と側面積を合わせたものです。側面積は円周×高さなので、円柱の表面積は次のように計算できます。

円柱の表面積は次の式で求めます。

円柱の表面積 = 2πr² + 2πrh

ここで、rは底面の半径、hは高さです。問題ではr = 4cmと与えられているので、円柱の表面積の式は次のようになります。

円柱の表面積 = 2π(4)² + 2π(4)h

次に、球の表面積を求めます。球の表面積は次の式で求められます。

球の表面積 = 4πr²

問題では、球の半径も4cmなので、球の表面積は次のようになります。

球の表面積 = 4π(4)²

円柱の表面積と球の表面積が等しいという条件を使うと、次の式が得られます。

2π(4)² + 2π(4)h = 4π(4)²

この式を解くことで、円柱の高さhを求めることができます。まず、両辺のπを取り除き、計算を進めます。

πを取り除くと次のようになります。

2(4)² + 2(4)h = 4(4)²

計算を進めると、次のようになります。

2(16) + 8h = 4(16)

32 + 8h = 64

ここから、8h = 64 – 32 = 32となり、h = 32 / 8 = 4となります。

よって、円柱の高さhは4cmです。この問題は、円柱と球の表面積が等しいという条件を使って、必要な高さを求める問題でした。計算を正確に進めることで、解答にたどり着くことができました。