三角形ABCにおけるcosBACの求め方：辺の比を使った解法

三角形ABCの辺の比がAB：BC：CA=4：5：6であるとき、cosBACの値を求める問題について解説します。この問題は余弦定理を利用して解くことができ、辺の長さの比から角度を計算する方法を学ぶことができます。

三角形の設定

三角形ABCにおける辺の長さの比がAB：BC：CA=4：5：6で与えられています。具体的な辺の長さは与えられていませんが、この比から辺の長さを計算することができます。まず、辺ABを4x、辺BCを5x、辺CAを6xとおきます。

このように設定すると、三角形の辺の長さは比を基にした定数xを用いて表現することができ、計算が簡単になります。

cosBACを求めるためには、余弦定理を使用します。余弦定理は以下の式で表されます。

cosA = (b² + c² – a²) / (2bc)

ここで、Aは角度BAC、aは辺BC、bは辺AC、cは辺ABです。具体的には、a=5x、b=6x、c=4xを代入し、この式に従ってcosBACを計算することができます。

余弦定理を用いてcosBACを計算してみましょう。

cosBAC = (b² + c² – a²) / (2bc)

= ((6x)² + (4x)² – (5x)²) / (2 × 6x × 4x)

= (36x² + 16x² – 25x²) / (48x²)

= (27x²) / (48x²)

= 27 / 48 = 9 / 16

したがって、cosBAC = 9 / 16 となります。

三角形ABCにおいて、辺の比AB：BC：CA=4：5：6の場合、cosBACの値は9/16となります。余弦定理を用いることで、辺の比から角度を計算することができ、このように具体的な数値に基づいて問題を解くことが可能です。