高校数学でよく登場する二次方程式において、解の条件を求めることは重要なスキルです。今回の問題では、-6t² + 6ut = 0という方程式に関して、2つの異なる解が存在する条件と判別式を使った計算に関する疑問が提出されています。この記事では、この問題に対する理解を深めるために、両者の違いとその解き方について詳しく解説します。
方程式 -6t² + 6ut = 0 の解法
まず、方程式 -6t² + 6ut = 0 を解いてみましょう。この方程式は、2次方程式として簡単に解くことができます。まず、共通因数 -6t を因数分解してみます。
-6t(t – u) = 0
この式から、解が2つ得られます。すなわち、t = 0 または t = u です。したがって、2つの異なる解を持つためには、t = u ではなく、t ≠ 0 と t ≠ u の条件を満たす必要があります。
判別式を使った解の条件
次に、判別式を使って解を求める方法を見ていきます。判別式Dは、二次方程式の解が実数解を持つかどうかを判定するために使います。一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式は、次のように定義されます。
D = b² – 4ac
今回の方程式 -6t² + 6ut = 0 において、a = -6, b = 6u, c = 0 です。したがって、判別式Dは次のように計算されます。
D = (6u)² – 4(-6)(0) = 36u²
この判別式が正であれば、実数解を持ちます。したがって、解が2つ異なる場合には、36u² > 0 となります。これを解くと、u ≠ 0 となり、uは全ての実数でないといけないという結果が得られます。
2つの異なる解が得られる条件の矛盾
ここで、判別式を使って得られた条件と、最初の因数分解から得られた条件との間に矛盾が生じることがあります。最初の因数分解では、解は t = 0 または t = u という形になり、2つの解が異なるためには u ≠ 0 である必要があります。
一方、判別式を使った場合には、u ≠ 0 という条件が得られ、全ての実数uが解に関係していると結論できます。この差は、最初の因数分解における解の「種類」の理解の仕方によるものです。判別式を用いた場合の解は、無理に2つの解が得られるわけではなく、解が存在することを示すための手段です。
結論：判別式と因数分解の違い
結局、判別式と因数分解を使った解法では、それぞれ異なる視点から解を導き出していることがわかります。因数分解では、解が定まる条件が具体的に示されますが、判別式では解が存在するための条件を示すため、解が2つ異なる場合に関する詳細な判断ができるわけではありません。
このような数学的な差を理解することで、問題をより深く把握し、解法を選択する際の判断材料として活用することができます。
コメント