平方完成は、二次方程式や式を解く際に非常に重要なテクニックです。特に、4x² + 8x + 9のような式を平方完成で解く方法について詳しく解説します。この方法を使うと、二次関数のグラフの頂点を簡単に求めたり、式の簡単化ができます。
平方完成の基本概念
平方完成とは、二次式を「(x + a)² + b」の形に変形することです。この方法を使うことで、式の計算やグラフの描画が簡単になります。平方完成を行うためには、まず二次式の係数や定数項に注目します。
例として、4x² + 8x + 9の式を平方完成してみましょう。
4x² + 8x + 9の平方完成方法
この式を平方完成するためのステップは以下の通りです。
- まず、x²の係数（ここでは4）を取り出して、式全体をその係数で割ります。
- 次に、x²とxの項を使って完全な平方を作ります。
- 最後に定数項を調整して、平方完成を完成させます。
具体的には、次の手順で進めます。
ステップ1: 4で因数分解
まず、4x² + 8x + 9の式を4でくくります。
4(x² + 2x) + 9
ステップ2: 完全な平方を作る
次に、x² + 2xの部分を完全な平方にします。x² + 2xの平方完成は、(x + 1)² – 1となります。
これを式に代入すると、4((x + 1)² – 1) + 9になります。
ステップ3: 定数項を整理
最後に定数項を整理します。
4(x + 1)² – 4 + 9 = 4(x + 1)² + 5
これで、4x² + 8x + 9は4(x + 1)² + 5という形に平方完成されました。
平方完成の利用方法
平方完成は、二次方程式の解法や関数の頂点の計算、積分など、さまざまな分野で役立ちます。例えば、二次関数のグラフを描く際に、平方完成した形を使うことで、頂点の座標を簡単に求めることができます。
また、物理学や工学の分野では、平方完成を使って運動方程式やエネルギーの計算を簡略化することがあります。
まとめ
4x² + 8x + 9の平方完成の方法を学ぶことで、二次式をより簡単に扱うことができるようになります。平方完成のステップを踏むことで、複雑な式を簡単に解いたり、グラフを描いたりすることができます。数学の問題を解く際に、このテクニックを活用しましょう。
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