ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 の解の個数に関する条件の求め方

三次方程式 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 の解がいくつ存在するかを求めるための条件を考えます。解が1個、2個、または3個となる条件はそれぞれ異なります。この記事では、これらの条件をどのように求めるかについて、具体的に解説します。

三次方程式の解の個数について

三次方程式 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 は、一般的に最大で3つの実数解を持つことが知られています。解の個数が1つ、2つ、または3つとなるためには、方程式の判別式や、微分を使った解析を行うことが有効です。

解が1個の場合の条件

解が1個である場合、三次方程式は重解を持つことになります。これは、方程式の判別式が0であるときに発生します。具体的には、方程式が一つの解を持ち、その解が重解であるときに解が1個であると言えます。この場合、方程式のグラフはx軸と1回だけ接することになります。

そのため、解が1個の場合の条件は、方程式の判別式が0であることです。

解が2個の場合の条件

解が2個である場合、三次方程式は実数解が2つ、複素数解が1つとなる場合です。この場合、方程式はx軸と2点で交差するか、または1点で接し、他の解は複素数になります。

解が2個の場合の条件は、実数解が2つあり、複素数解を持つ場合に該当します。具体的には、判別式が0より大きく、かつ1つの重解を持たない場合です。

解が3個の場合の条件

解が3個である場合、三次方程式は異なる実数解を3つ持つことになります。この場合、方程式のグラフはx軸と3点で交差する形になります。

解が3個の場合の条件は、方程式の判別式が0より大きい場合です。判別式が正であれば、実数解が3つ存在し、三次方程式のグラフはx軸と3回交差します。

まとめ

三次方程式 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 の解の個数を求めるための条件は、判別式を利用することで明確にできます。解が1個のときは判別式が0、解が2個のときは判別式が正で、複素数解が含まれ、解が3個のときは判別式が正で実数解が3つ存在することになります。これらの条件を理解し、方程式を解析する際に役立てましょう。