このページでは、与えられた微分方程式の一般解を求める方法について解説します。以下の方程式が与えられています。
4x²y” + 4xy’ + (x² – 1)y = 0
1. 微分方程式の確認
まず、この方程式がどのような種類の微分方程式かを確認しましょう。この微分方程式は、二階線形常微分方程式であり、xに依存した変数が含まれています。
2. 解法アプローチ
この問題を解くためには、定数変化法や変数分離法、または特性方程式を使用することが考えられます。まずは一般的な解法方法として、次のステップを試してみます。
方程式は、次の形式です。
4x²y” + 4xy’ + (x² – 1)y = 0
これを、一般解を求めるための手順に従って進めていきます。
3. 解法のステップ
まず、y = x^r という形を仮定して解法を進めます。この形を代入して、特性方程式を導出し、rを求めます。
この仮定に基づく計算は以下のように進めます。
- y = x^r
- y’ = r * x^(r – 1)
- y” = r(r – 1) * x^(r – 2)
これらを元の微分方程式に代入して、rを求めます。詳細な計算を進めると、特性方程式が導かれます。
4. 特性方程式と解法
特性方程式は次のように解かれます。
r(r – 1) + r(2r + 1) – 4 = 0
これを解くと、rの値が得られます。これにより、微分方程式の一般解が得られます。
5. まとめ
この微分方程式を解くためには、特性方程式を導出し、rの値を求めることが重要です。解法を理解し、適切な手順を踏むことで、微分方程式の一般解を見つけることができます。
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