微分方程式 y’ = (x + y) / y の一般解をx-1の整級数で求める方法

今回の問題では、微分方程式 y’ = (x + y) / y の一般解を求める方法について解説します。具体的には、この微分方程式をx – 1の整級数で表現する手順を示します。

微分方程式の形式を理解する

微分方程式 y’ = (x + y) / y は、yの導関数とyの関数として表されており、yがxに対してどのように変化するかを示しています。まずはこの方程式を整形して、解法に進む準備をします。

整級数展開のアプローチ

整級数を用いた解法では、解をx – 1の周りで展開します。まず、yを整級数として仮定し、y(x) = Σa_n(x – 1)^n という形で表現します。この形で、与えられた微分方程式に代入し、係数を比較していきます。

微分方程式に整級数を代入する

次に、y(x) = Σa_n(x – 1)^n を微分して、y’を求めます。その後、このy’と元の微分方程式 y’ = (x + y) / y に代入し、係数の比較を行います。具体的には、y(x) = Σa_n(x – 1)^n を代入することで、xに関する整級数を得ることができます。

解を求める

係数を比較していくと、整級数の係数が順番に決まります。このプロセスを繰り返すことで、y(x)の一般解が得られます。最終的に、x – 1の整級数で表現された解が求まります。

まとめ

微分方程式 y’ = (x + y) / y をx – 1の整級数で解く方法は、まずyを整級数として仮定し、微分して代入し、係数比較を行うことで進めます。この方法を使えば、整級数を用いて解を求めることができます。具体的な計算を通じて、微分方程式の解法を理解しましょう。