微分方程式 4xy” + 2y’ + y = 0 の一般解の求め方

今回の記事では、微分方程式「4xy” + 2y’ + y = 0」の一般解の求め方について解説します。この問題は、変数分離法や定積分法を使わず、適切な方法で解く必要があります。

1. 微分方程式の形式の確認

まず、この微分方程式は2階線形常微分方程式です。通常、このような微分方程式は変数分離や定積分法を使って解けますが、この問題は変数係数のため、解法を少し工夫する必要があります。

微分方程式は次のように表されます：
4x y” + 2y’ + y = 0

2. 解法のアプローチ

まず、変数xを含む項があるため、解の方法としては「変数変換」や「特性方程式」を利用するのが有効です。この場合、特に一般的な方法である、非定常変数変換を使用します。

変数変換を行い、特性方程式を解くことで、この微分方程式の解が導かれます。

3. 特性方程式の導出

変数変換を行うことで、次のような特性方程式が得られます。解を求めるために、特性方程式の解を計算し、その結果から一般解を導きます。

ここで、得られる一般解は次の形をとります：
y(x) = C1 * x^r1 + C2 * x^r2

4. 結論

最終的に、微分方程式「4xy” + 2y’ + y = 0」の一般解は、変数変換と特性方程式を使って導かれることが分かります。この手法は一般的に常微分方程式の解法として有効であり、他の問題にも適用可能です。