ある病院で行われる検査において、陽性と判定された場合、その人が実際に病気にかかっている確率を求める問題です。このような問題ではベイズの定理を用いて、実際の病気にかかっている確率を求めることができます。今回はその方法について、具体的な手順とともに解説します。
問題設定の確認
問題では、ある病院にかかっている人が5%いる集団Aがあり、検査の条件として以下の情報が与えられています。
- 病気にかかっている人が正しく陽性と判断される確率は80%
- 病気にかかっていない人が誤って陽性と判定される確率は10%
- 集団Aの中で、5%が病気にかかっている
この条件をもとに、陽性と判定された場合、その人が実際に病気にかかっている確率を求めます。
ベイズの定理を使用する
この問題を解くためには、ベイズの定理を用います。ベイズの定理は、事後確率を求めるための方法であり、次の式で表されます。
P(病気 | 陽性) = (P(陽性 | 病気) * P(病気)) / P(陽性)
ここで、P(病気 | 陽性)は、陽性判定を受けた人が実際に病気にかかっている確率、P(陽性 | 病気)は、病気の人が陽性になる確率、P(病気)は病気にかかっている確率、P(陽性)は陽性判定を受ける確率です。
各確率の値を求める
次に、式に必要な各確率を求めます。
- P(陽性 | 病気) = 0.80（病気にかかっている人が正しく陽性と判定される確率）
- P(病気) = 0.05（集団Aの中で病気にかかっている確率）
- P(陽性)は、病気の人と病気でない人が陽性判定を受ける確率を合わせたものです。これを計算するために、病気の人が陽性になる確率と、病気でない人が陽性になる確率をそれぞれ計算し、合計します：
P(陽性) = P(陽性 | 病気) * P(病気) + P(陽性 | 非病気) * P(非病気)
ここで、P(陽性 | 非病気) = 0.10（病気でない人が誤って陽性と判定される確率）であり、P(非病気) = 0.95（病気でない人の確率）です。
これらの値を代入すると。
P(陽性) = 0.80 * 0.05 + 0.10 * 0.95 = 0.04 + 0.095 = 0.135
最終的な確率の計算
これで、必要な値がすべて揃いました。ベイズの定理を使って、陽性と判定された人が実際に病気にかかっている確率は次のように計算できます。
P(病気 | 陽性) = (0.80 * 0.05) / 0.135 = 0.04 / 0.135 ≈ 0.296
したがって、陽性と判定された人が実際に病気にかかっている確率は約29.6%となります。
まとめ
この問題では、ベイズの定理を用いて、陽性と判定された場合に実際に病気にかかっている確率を求めました。重要なのは、検査の精度や病気にかかっている確率などの情報を適切に組み合わせることです。このような問題は、確率論を学ぶ上で非常に有用で、実際の状況に即した判断を行うために役立ちます。
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