この問題では、整数 a と b が3で割り切れない数であるとき、式 a^4 + a^2b^2 + b が3で割り切れることを証明することが求められています。最初に質問者がどのように解答しようとしたかを見て、より簡単に理解できるような証明方法を考えてみます。
1. 問題の理解と式の確認
問題の式は次の通りです:
a^4 + a^2b^2 + b
ここで、a と b は3で割り切れない整数とされています。すなわち、a と b はそれぞれ 3 の余りが 1 または 2 となる数です。この問題を解くために重要なのは、a^2 と b^2 がどのように振る舞うかを理解することです。
2. 整数の二乗の余りに注目する
まず、整数の2乗を3で割った余りを考えます。整数 n の二乗は、3で割ったときに余りが0または1になります。これは以下のように確認できます。
- n ≡ 0 (mod 3) の場合: n^2 ≡ 0 (mod 3)
- n ≡ 1 (mod 3) の場合: n^2 ≡ 1 (mod 3)
- n ≡ 2 (mod 3) の場合: n^2 ≡ 1 (mod 3)
したがって、a と b が3で割り切れない場合、a^2 と b^2 はいずれも余りが 1 であるか、または余りが 0 です。
3. 式を簡単にしてみる
次に、問題の式 a^4 + a^2b^2 + b を考えます。a と b はそれぞれ 1 または 2 の余りを持つので、a^2 と b^2 の値を代入してみます。
- a^2 ≡ 1 (mod 3), b^2 ≡ 1 (mod 3)
- a^4 ≡ 1 (mod 3), a^2b^2 ≡ 1 (mod 3), b ≡ 1 (mod 3)
これを式に代入すると。
a^4 + a^2b^2 + b ≡ 1 + 1 + 1 = 3 (mod 3)
したがって、この式は3で割り切れます。
4. 結論
このようにして、式 a^4 + a^2b^2 + b は、a と b が3で割り切れない整数であっても、必ず3で割り切れることが示されました。質問者の方法は間違っていませんが、こちらのように式を段階的に考えることで、よりスムーズに問題を解くことができます。
5. まとめ
この問題では、整数の二乗の性質を理解することが解法のカギでした。特に、整数の2乗が3で割ったときに余りが0または1になるという基本的な性質を利用しました。このように、問題を解くためには、少しの工夫と基本的な数学的性質を思い出すことが重要です。
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