微分方程式 y'' - (x-1)y = 0 の一般解をx-1の整級数で求める方法

この記事では、微分方程式「y” – (x-1)y = 0」の一般解をx-1の整級数（級数展開）を使って求める方法を解説します。微分方程式の整級数解法は、特に非線形の解が難しい場合に有効です。これを使えば、簡単に解析的な解を得ることができます。

1. 微分方程式の確認

与えられた微分方程式は次の形です。

y” – (x-1)y = 0

このような微分方程式を解く方法として、x = 1を中心にした整級数展開を利用します。ここではx – 1を変数として取り扱います。

整級数展開では、関数y(x)を次のように表現します。

y(x) = Σa_n(x-1)^n （n=0から∞）

ここでa_nは求めるべき係数であり、関数y(x)をx = 1で展開しています。この展開を微分方程式に代入し、係数a_nを求めます。

まず、y(x)とその2階微分y”(x)を求めます。微分すると次のようになります。

y'(x) = Σn a_n (x-1)^(n-1)

y”(x) = Σn(n-1) a_n (x-1)^(n-2)

これらを微分方程式 y” – (x-1)y = 0 に代入し、各項の係数を比較していきます。これにより、a_nを順番に求めることができます。

代入後、係数a_nを求めるために、整理していきます。最終的にa_nが得られ、これによりy(x)の整級数展開を得ることができます。解は次のように表されます。

y(x) = Σa_n (x-1)^n

ここで、a_nを計算することで、x=1の周りでのy(x)の解が得られます。

このようにして、微分方程式「y” – (x-1)y = 0」の一般解をx-1の整級数で求めることができます。整級数展開は、特に解析的に解が得られない場合に非常に有用な手法であり、他の微分方程式にも応用が可能です。