今回の質問では、積分の解法についての誤解があるようです。具体的には、積分式 ∫[-2/3 → (π-2/3)] sin(3x+2) dx の計算方法について、直接積分で計算した場合の誤りと、置換積分を用いた方法の違いに関する質問です。この記事では、なぜ置換積分が有効で、直接積分で解くとどのようなミスが生じるのかを解説します。
積分問題における置換積分の重要性
積分を行う際、式の中に変数が複数含まれている場合、適切な変数変換（置換積分）を行うことで計算が簡素化されることがあります。特に、三角関数や多項式の積み合わせが出てくる場合、置換積分を使用することで計算が容易になります。
問題の設定と解法のアプローチ
与えられた積分 ∫[-2/3 → (π-2/3)] sin(3x+2) dx において、まずは直接積分を試みることができますが、この方法では複雑な式を解く際に誤りが生じる可能性があります。なぜなら、sin(3x+2) の積分は直接的には少し手間がかかるため、置換積分を行うことでスムーズに解くことが可能です。
置換積分の方法：t = 3x + 2 の置換
置換積分を行う場合、t = 3x + 2 とおいて、dx を dt/3 に置き換えます。これにより、積分式は sin(t) の形に変形され、積分が簡単になります。実際の積分は次のように進めます。
∫ sin(3x+2) dx ＝ (1/3) ∫ sin(t) dt
なぜ直接積分が誤った答えを生むのか
直接積分では、変数変換を行わずに計算を続けることになり、計算結果が複雑になり、最終的に誤った答えに繋がることがあります。特に、sin(3x+2) のような式では、積分の計算を途中で誤って処理してしまうことがあります。
結論：置換積分を活用しよう
したがって、積分を解く際には、置換積分を使用することで計算が簡略化され、誤りを避けることができます。積分の過程で変数変換を行うことで、問題が簡単に解け、正しい答えを得ることができます。
コメント