三角関数の不等式問題の解法：sin2θ – cosθ > 0

三角関数の不等式を解く際には、適切な変換や式の整理を行い、解答に辿り着くことが重要です。今回の問題では、0≦θ＜２πの範囲で「sin2θ – cosθ > 0」を解いていきます。まずは問題を整理し、どのように解いていくかを見ていきましょう。

問題の整理

与えられた不等式は「sin2θ – cosθ > 0」です。まずはこの不等式を解くために、sin2θを倍角の公式を使って展開します。

倍角の公式：sin2θ = 2sinθcosθ

不等式の変換

式を変換すると、次のようになります。

2sinθcosθ – cosθ > 0 となります。

ここで、cosθを共通因数として括ることができます。

因数分解と解法

cosθ(2sinθ – 1) > 0 となります。これにより、cosθが0より大きいか、または2sinθ – 1が0より大きい必要があることがわかります。

まず、cosθ > 0の条件を満たすθの範囲を考えます。cosθ > 0は、θが0 ≦ θ < π/2および3π/2 ≦ θ < 2πの範囲で成立します。

2sinθ – 1の条件

次に、2sinθ – 1 > 0の条件を考えます。この不等式を解くと、sinθ > 1/2となります。これを満たすのは、θがπ/6 < θ < 5π/6の範囲です。

したがって、この不等式を満たすθの範囲は、0 ≦ θ < π/2、π/6 < θ < 5π/6、3π/2 ≦ θ < 2πの範囲です。

まとめ

不等式「sin2θ – cosθ > 0」を解くと、θの範囲は0 ≦ θ < π/2、π/6 < θ < 5π/6、3π/2 ≦ θ < 2πとなります。このように三角関数の不等式を解くためには、倍角の公式や因数分解を使い、適切な範囲を求めることが大切です。