微分方程式の解法：x^2y''-x(x+4)y'+4y=0 の一般解を求める方法

微分方程式の解法は数学の基礎であり、特に物理学や工学、経済学などの分野で幅広く応用されています。今回は、次の微分方程式の一般解を求める方法について解説します：
x^2y” – x(x+4)y’ + 4y = 0

1. 与えられた微分方程式の確認

まず、与えられた微分方程式を確認します。この方程式は2階の線形常微分方程式です。式を整理すると以下の形になります。

x^2y'' - x(x+4)y' + 4y = 0

この式では、yの2階微分、1階微分、yの項が含まれています。このような方程式は、適切な方法を用いることで解けます。

この微分方程式を解くために、まず変数の変換や特性方程式を使って解法を進める方法を見ていきます。特に、この微分方程式は変数xに依存しているので、適切な変数変換が必要です。まずは、定積分法や変数変換法を使って解きます。

具体的には、定積分法を使って微分項を扱う方法を取ります。定積分を適用することで、解を得るための過程を簡素化できます。

微分方程式を解くためのステップとして、以下の手順を進めます。

これらの手順を踏むことで、微分方程式の解を求めることができます。特に、特性方程式を解くことで解の一般形を得ることができます。

この微分方程式の解は、以下の形で表されることになります。

y(x) = C1 * x^m + C2 * x^n

ここで、C1とC2は定数で、mとnは特性方程式を使って得られる解です。これによって、与えられた微分方程式の一般解が求められました。

微分方程式の解法には手順をしっかりと踏むことが大切です。変数変換や定積分法を用いることで、より効率的に解くことができます。解法を理解し、練習を重ねることで、より複雑な微分方程式にも対応できるようになります。