xとyが独立のとき、x+y/2とx-y/2が独立である理由

統計学や確率論において、確率変数の独立性は非常に重要な概念です。今回の質問では、xとyが独立な確率変数のとき、x+y/2とx-y/2も独立である理由について解説します。

1. 独立性の定義

まず、確率変数xとyが独立であるとは、xの値が決まったときにyの確率分布が変わらないこと、またその逆も成り立つことを意味します。具体的には、任意のxとyの値に対して、P(x, y) = P(x)P(y)が成り立つ場合、xとyは独立です。

次に、xとyが独立である場合に、x+y/2およびx-y/2が独立である理由を考えます。xとyが独立であれば、それぞれの変数に関する確率分布が分離しており、線形結合であるx+y/2やx-y/2も独立性を保つことができます。

これを説明するためには、二つの変数の共分散がゼロであることを示すと効果的です。x+y/2とx-y/2の共分散は次のように計算できます。

共分散Cov(a, b) = E[ab] – E[a]E[b]という式を用いて、x+y/2とx-y/2の共分散を計算します。

具体的には、Cov(x+y/2, x-y/2)を展開すると、次のようになります。

Cov(x+y/2, x-y/2) = E[(x+y/2)(x-y/2)] – E[x+y/2]E[x-y/2]

この式を展開した結果、xとyが独立であるため、共分散がゼロになり、x+y/2とx-y/2が独立であることが確認できます。

xとyが独立であるとき、x+y/2およびx-y/2も独立であるのは、共分散がゼロになるためです。このように、確率変数の線形結合における独立性を示すことは、統計学や確率論で頻繁に用いられる手法です。具体的な計算方法を理解することで、より深く確率変数の独立性を理解することができます。