点A(2,1)を通り、ベクトルd=(2,3)に平行な直線l上の点Pの座標を求める問題について、正しい方法で解法を示します。質問者が「P(t, 3/2t – 2)」と求めた解法の誤りとその修正方法を詳しく解説します。
問題の設定
まず、与えられた情報を整理しましょう。点Aの座標は(2,1)であり、ベクトルd=(2,3)が直線lに平行であることがわかります。これにより、直線lの方向ベクトルはd=(2,3)となります。点Pの座標を変数tを用いて表現するために、直線l上の任意の点P(t)は、次のように表現できます。
P(t) = A + t * d
直線l上の点Pの座標の求め方
直線lの方程式は、点A(2,1)からベクトルd=(2,3)に沿って進む点P(t)の座標として表されます。したがって、点Pの座標は以下のように表現できます。
P(t) = (2, 1) + t * (2, 3) = (2 + 2t, 1 + 3t)
ここで、tは任意のパラメータであり、直線上の点を指定します。したがって、P(t) = (2 + 2t, 1 + 3t)が直線l上の点Pの座標です。
誤りの原因と修正方法
質問者が出した解答「P(t, 3/2t – 2)」が間違っている理由は、直線の方向ベクトルと座標の関係を正しく適用していないからです。具体的には、点Aを通る直線におけるP(t)のy座標は、直線の方向ベクトルに基づいて、y = 1 + 3t となるべきです。質問者の解答では、y座標が「3/2t – 2」となっていますが、これは間違いです。
正しくは、y座標は「1 + 3t」であるため、P(t)の正しい座標は「(2 + 2t, 1 + 3t)」となります。
直線の方程式の立て方
直線l上の点Pと点Aを通る直線の方程式を立てるには、まず点A(2,1)と点P(t)の間に直線の傾きを求めます。点Aと点P(t)を結ぶ直線の傾きは、次のように求められます。
傾き = (3t + 1 – 1) / (2t + 2 – 2) = 3t / 2t = 3 / 2
したがって、直線の方程式は次のようになります。
y – 1 = (3/2)(x – 2)
この方程式が直線lの方程式です。
まとめ
点A(2,1)を通るベクトルd=(2,3)に平行な直線l上の点Pの座標をtを使って求める際には、直線の方向ベクトルを用いて座標を表現する方法が正解です。誤ってP(t, 3/2t – 2)と求めたのは、y座標の計算ミスに基づくものであり、正しくはP(t) = (2 + 2t, 1 + 3t)と表現されます。直線の方程式も、この座標に基づいて正しく導出することができます。
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