数学の極限問題:lim(n→∞) (‪√‬(n^2 +n)-n) の求め方

高校数学

数学の極限の問題である「lim(n→∞) (‪√‬(n^2 +n)-n)」を解く方法について解説します。この問題では、いわゆる「有利化」を使わずに極限を求める方法について学びます。

問題の整理とアプローチ

問題は、lim(n→∞) (‪√‬(n^2 +n)-n) の極限を求めるものです。このような式を解くためには、まず式の中でnが無限大に近づくときの挙動を理解することが重要です。

式の形は一見すると複雑ですが、数学的な考え方として、nが大きくなると、n^2 + n の中でn^2が圧倒的に大きな値を持つことがわかります。このため、‪√‬(n^2 + n) の大きさがnに近づいていきます。

解法:無理数の近似

まず、‪√‬(n^2 + n) を展開してみます。無理数の式を展開するために、n^2の項を因数分解すると次のように表現できます。

‪√‬(n^2 + n) = n‪√‬(1 + 1/n)

この形にすると、nが無限大に近づくときに‪√‬(1 + 1/n) は1に近づきます。したがって、‪√‬(n^2 + n) はおおよそnに近づくということがわかります。

極限の計算

次に、式「‪√‬(n^2 + n) – n」の極限を求めます。ここで、式をもう一度見てみましょう。

lim(n→∞) (‪√‬(n^2 +n) – n) = lim(n→∞) (n‪√‬(1 + 1/n) – n)

これをさらに簡単にするために、nを外に出して次のようにします。

lim(n→∞) n(‪√‬(1 + 1/n) – 1)

ここで、‪√‬(1 + 1/n) はnが無限大に近づくと1に近づきます。このため、‪√‬(1 + 1/n) – 1 の値は、1/nのように小さくなり、最終的に0に収束します。

結論

以上の計算から、lim(n→∞) (‪√‬(n^2 +n) – n) の極限は0であることがわかります。このように、nが無限大に近づくと、式の中の無理数部分が簡単に近似できることがわかります。

この問題のポイントは、無理数の部分を適切に展開し、nが大きいときの挙動を把握することです。最終的に、極限が0に収束することが確認できました。

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