ラプラスの微分方程式と境界条件の解法

ラプラスの微分方程式は、熱伝導や電場のポテンシャルなど、さまざまな物理的現象を記述するために使われます。この記事では、ラプラスの微分方程式に関する問題を解くための方法を解説し、与えられた境界条件に適合する解を求める手順を詳しく説明します。

ラプラスの微分方程式の概要

ラプラスの微分方程式は、次の形式で表されます。
(∂²u/∂x²) + (∂²u/∂y²) = 0。これは、2次元空間における静的な状態を表す方程式で、主に熱伝導やポテンシャル問題で現れます。

問題では、次の境界条件が与えられています：
u(0, y) = u(l, y) = 0, lim y→∞ u(x, y) = 0, 0 < x < a, 0 < y < b で定義された範囲。
これらの境界条件を使って、関数u(x, y)を求めることが求められます。

ラプラス方程式を解くための方法として、分離定数法を使用します。まず、u(x, y) = X(x)Y(y) の形に仮定し、xとyに関する常微分方程式を得ます。この方法により、各変数に関する解を個別に求めることができます。

境界条件u(0, y) = u(l, y) = 0を考慮すると、x方向の解が正弦関数に制限されることがわかります。具体的には、X(x) = sin(nπx/l)とし、nは整数です。次に、y方向の解を求めるために、対応する微分方程式を解きます。

最終的に得られる解は、u(x, y) = ΣAn sin(nπx/l) sinh(nπy/b) の形になります。ここで、Anは与えられた初期条件u(x, +0) = f(x)に基づいて決定されます。この解を用いることで、与えられた境界条件を満たす有界な関数u(x, y)を求めることができます。

ラプラスの微分方程式に関する問題では、分離定数法を用いて解を求めることができます。境界条件に基づいてx方向とy方向の解を求め、最終的に有界な関数を得ることができました。この手法は、同様の問題においても有効です。