有理数p, qがp + q√2 = 0を満たす場合、p=q=0であることの証明

この問題は、実数の無理数である√2を使って、p + q√2 = 0 を満たす有理数 p と q が p = q = 0 であることを証明するものです。数学的な帰納法を用いる問題で、特に仮定の設定の仕方がわからないという疑問が挙がっています。

1. 問題の確認と解法の方針

まず問題を整理すると、p と q が有理数で、p + q√2 = 0 を満たすときに、p = q = 0 であることを示す必要があります。これに対して、数学的帰納法を用いて証明します。

問題の「ならば」の部分を証明するためには、まず結論 p = q = 0 を仮定して、それが成り立たない場合を考えます。仮定を設定する際には、p または q のいずれかが0ではない場合を仮定し、それに基づいて矛盾を導く方法を取ります。

次に、q ≠ 0 と仮定します。この仮定に基づき、p + q√2 = 0 を変形していきます。p が有理数であれば、p + q√2 = 0 という式から、pとqの関係を整理できます。最終的にはp = q = 0 であることを矛盾から導くことになります。

このように、仮定を使ってp = q = 0であることを証明します。この証明は、無理数を使った逆説的な証明の良い例です。仮定の段階で誤った設定をすると、結果的に矛盾を生じさせることができるため、仮定の設定が重要です。

この証明の鍵は、仮定に基づいて矛盾を導く逆説的証明です。無理数√2を含む式では、p + q√2 = 0 となる条件下でpとqが0であることを示すために、q ≠ 0と仮定して進めることが重要でした。このアプローチを理解することで、類似の問題に対するアプローチ方法がわかります。