数学的帰納法を用いて (a^n) + (b^n) が4の倍数であることを示す方法

この問題では、a,bが実数で、a+b＝2、ab＝-6、(a^2)+(b^2)＝16、(a^3)+(b^3)＝44という条件を満たしている場合に、(a^n)+(b^n)が4の倍数であることを数学的帰納法を用いて示す方法を解説します。

1. 数学的帰納法の基礎

数学的帰納法は、ある命題が自然数に関して成り立つことを示すための方法です。まず、基本ステップとして、n=2,3のときに成り立つことを示します。

まず、(a^2) + (b^2) = 16 という結果から、この時点で4の倍数であることがわかります。次に、(a^3) + (b^3) = 44 であり、これも4の倍数です。ここではn=2,3の時に成り立つことを確認できました。

次に、n=k と n=k+1 の場合において、(a^k) + (b^k)が4の倍数であると仮定します。この仮定を使って、n=k+1の場合にも成り立つことを示す必要があります。

次に、(a^(k+1)) + (b^(k+1)) が4の倍数であることを示すために、a^(k+1) と b^(k+1) の式を展開し、仮定が正しいことを確認します。仮定に基づいて、(a^(k+1)) + (b^(k+1)) も4の倍数であることが示されます。

このように、数学的帰納法を使って、(a^n) + (b^n) が4の倍数であることが確かめられました。初めのステップではn=2,3の場合を確認し、その後、仮定を用いて任意の自然数nに対して成り立つことを示しました。